K^M kein Körper für |M|>=2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Fragestellung lautet genau:
Sei K ein Körper und M eine beliebige Menge mit [mm] |M|\ge [/mm] 2. Warum ist [mm] K^M [/mm] kein Körper?
Hinweis: Mache dir die Aussage zunächst an einem Beispiel einer endlichen Menge M mit |M| = 2 klar.
Um ganz ehrlich zu sein bin ich mir immer noch nicht ganz sicher, was ich unter einer Abbildung von einer Menge in einen Körper (oder auch Ring) verstehen soll.
Was zum Beispiel wäre eine Abbildung von der Menge {a,b} in den Körper [mm] \IF_{2}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Die Fragestellung lautet genau:
> Sei K ein Körper und M eine beliebige Menge mit [mm]|M|\ge[/mm] 2.
> Warum ist [mm]K^M[/mm] kein Körper?
steht das wirklich so da?
Meines Wissens nach trägt nämlich [mm] $\IC \cong \IR^2 \cong \IR^{\{1,2\}}$ [/mm] eine Körperstruktur!
P.S. Kann es sein, dass bei Euch die Addition und Multiplikation auf [mm] $K^M$ [/mm] vorgegeben
ist? [mm] ($\IR^2$ [/mm] wird ja nur durch eine "spezielle Multiplikation" zu einem Körper [mm] $\cong \IC.$)
[/mm]
Vermutlich: $f,g [mm] \in K^M$ $\Rightarrow$ [/mm] $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ und $(f [mm] \cdot [/mm] g)(x):=f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x)$ ($x [mm] \in [/mm] M$)?
Gruß,
Marcel
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Es steht wortwörtlich so da. Ich habe auch sofort an [mm] \IR^2 [/mm] gedacht, meine Tutorin meinte allerdings, dass M eine Menge und keine Zahl sei.
Als Ergänzung noch das, was für Ringe vorweggenommen wird:
Sei M eine beliebige Menge und R ein Ring. Die Menge [mm] R^M [/mm] aller Abbildungen von M nach R bildet einen Ring bezüglich der punktweisen Addition und Multiplikation: Seien f,g [mm] \in R^M, [/mm] dann sind die Abbildungen f+g und f [mm] \cdot [/mm] g definiert durch:
f + g: M [mm] \to [/mm] R: a [mm] \mapsto [/mm] f(a) + g(a)
f [mm] \cdot [/mm] g: M [mm] \to [/mm] R: a [mm] \mapsto [/mm] f(a) [mm] \cdot [/mm] f(g)
Null- und Einselemente:
0: M [mm] \rightarrow [/mm] R: a [mm] \mapsto [/mm] 0
1: M [mm] \rightarrow [/mm] R: a [mm] \mapsto [/mm] 1
Wie gesagt, mein Hauptproblem besteht darin, mir die Abbildung von einer Menge in einen Körper vorzustellen.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich kann mir solche Abbildungen auch nicht vorstellen. Es ist aber auch unnötig sie sich vorstellen zu können, da hilft einem die math. Struktur.
Als Bsp: $ \mathbb F_2^{\{a,b\}}= Abb(\{a,b\},\mathbb F_2}=\{0;1; a\mapsto 0, b \mapsto 1; a\mapsto 1, b\mapsto 0\}$
Wenns hilft mach noch ein paar Bsp.; Mit unendlichen K oder M wirds schwierig die Menge explizit hinzuschreiben.
Welche Abb. sind hier nicht invertierbar?
Ein allgemeiner Tipp: Denk an Indikatorfunktionen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es steht wortwörtlich so da. Ich habe auch sofort an [mm]\IR^2[/mm]
> gedacht, meine Tutorin meinte allerdings, dass M eine Menge
> und keine Zahl sei.
sag' Deiner Tutorin, dass sie selbst Sachen zum Nachlernen hat:
[mm] $$K^M$$
[/mm]
ist ein Spezialfall des ![[]](/images/popup.gif) kartesischen Produkts und [mm] $\IR^2:=\IR^{\{1,2\}}\,,$ [/mm] wobei
man auch andere Sichtweisen vertreten kann, in allen Fällen aber kann
man in "natürlicher Weise" [mm] $\IR^2$ [/mm] mit jedem [mm] $\IR^M$ [/mm] für $|M|=2$ identifizieren.
Damit ist es vollkommen irrelevant, ob man [mm] $\IR^M$ [/mm] mit $|M|=2$ schreibt, oder
aber [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Man kann auch in natürlicher Weise [mm] $\IR^2=\IR^{1 \times 2}$ [/mm] schreiben,
was bedeutet, dass man hier fortweg Elemente des [mm] $\IR^2$ [/mm] als ZEILENVEKTOREN
schreibt. Nimmt man [mm] $\IR^2=\IR^{2 \times 1}\,,$ [/mm] so schreibt man die Elemente
stets als Spaltenvektoren.
Eben mit [mm] $\IR^2:=\IR^{\{1,2\}}$ [/mm] erspart man es sich, sich Gedanken zu
machen, ob man Zeilen- oder Spaltenvektoren schreiben will/muss bzw.
da hin und her wechseln will/muss.
> Als Ergänzung noch das, was für Ringe vorweggenommen
> wird:
>
> Sei M eine beliebige Menge und R ein Ring. Die Menge [mm]R^M[/mm]
> aller Abbildungen von M nach R bildet einen Ring bezüglich
> der punktweisen Addition und Multiplikation: Seien f,g [mm]\in R^M,[/mm]
> dann sind die Abbildungen f+g und f [mm]\cdot[/mm] g definiert
> durch:
>
> f + g: M [mm]\to[/mm] R: a [mm]\mapsto[/mm] f(a) + g(a)
> f [mm]\cdot[/mm] g: M [mm]\to[/mm] R: a [mm]\mapsto[/mm] f(a) [mm]\cdot[/mm] f(g)
Na siehst Du, das ist eben der Punkt: Durch diese Definition kann man nicht
[mm] $\IC \cong \IR^2$ [/mm] als Gegenbeispiel hernehmen, denn die Multiplikation auf [mm] $\IR^2$ [/mm]
entspricht dann nicht dieser. Deswegen hatte ich auch im P.S. nochmal
nachträglich danach gefragt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S. Lies auch das
hier (klick!)
mal! ( Und zeig' das Deiner Tutorin!  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Do 06.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel,
> > Warum ist [mm]K^M[/mm] kein Körper?
>
> steht das wirklich so da?
das ist eine recht gebraeuchliche Notation fuer die Menge der Abbildungen von $M$ nach $K$. Und wenn $K$ ein Ring ist, meint man mit [mm] $K^M$ [/mm] normalerweise auch den Ring der Funktionen $M [mm] \to [/mm] K$ mit punktweisen Verknuepfungen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin Marcel,
>
> > > Warum ist [mm]K^M[/mm] kein Körper?
> >
> > steht das wirklich so da?
>
> das ist eine recht gebraeuchliche Notation fuer die Menge
> der Abbildungen von [mm]M[/mm] nach [mm]K[/mm].
das ist klar, da steht nur ein kartesisches Produkt!
> Und wenn [mm]K[/mm] ein Ring ist,
> meint man mit [mm]K^M[/mm] normalerweise auch den Ring der
> Funktionen [mm]M \to K[/mm] mit punktweisen Verknuepfungen.
Das ist naheliegend, aber nicht zwingend, wie [mm] $\IR^2 \cong \IC$ [/mm] zeigt. Daher meine Nachfrage.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Do 06.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel,
> > Und wenn [mm]K[/mm] ein Ring ist,
> > meint man mit [mm]K^M[/mm] normalerweise auch den Ring der
> > Funktionen [mm]M \to K[/mm] mit punktweisen Verknuepfungen.
>
> Das ist naheliegend, aber nicht zwingend, wie [mm]\IR^2 \cong \IC[/mm]
> zeigt.
nunja, [mm] $\IR^2 \cong \IC$ [/mm] ist ein [mm] $\IR$-Vektorraum-Isomorphismus [/mm] und kein Ringisormophismus. Es sei denn du stattest [mm] $\IR^2$ [/mm] mit einer nicht-kanonischen Multiplikation aus
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin Marcel,
>
> > > Und wenn [mm]K[/mm] ein Ring ist,
> > > meint man mit [mm]K^M[/mm] normalerweise auch den Ring der
> > > Funktionen [mm]M \to K[/mm] mit punktweisen Verknuepfungen.
> >
> > Das ist naheliegend, aber nicht zwingend, wie [mm]\IR^2 \cong \IC[/mm]
> > zeigt.
>
> nunja, [mm]\IR^2 \cong \IC[/mm] ist ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum-Isomorphismus
> und kein Ringisormophismus.
klar - jedenfalls wenn ich nichts weiter dazu sage. !
> Es sei denn du stattest [mm]\IR^2[/mm]
> mit einer nicht-kanonischen Multiplikation aus
Was man ja auch macht, wenn man [mm] $\IR^2 \cong \IC$ [/mm] meint. ( Wobei das
für mich jetzt "sogar" ein Körperisomorphismus ist. :P )
Und in der obigen Aufgabe war halt die kanonische Multiplikation gemeint.
Das stand aber nicht dabei (wird aber in der Vorlesung mit Sicherheit gesagt
worden sein); aber es wurde ergänzt!
Das war eigentlich der ganze Sinn meiner Nachfrage. (Und trotzdem sollte
man der Tutorin mal den Begriff des kartesischen Produkts nochmal
erklären; das ist auch nicht böse gemeint, ich weiß ja nicht, in welchem
Semester sie ist. Aber sie sollte das mal richtig lernen!)
Gruß,
Marcel
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Die Definition der punktweisen Addition und Multiplikation, von der wohl ausgegangen werden soll, hab ich in einer Mitteilung geschrieben (das Forensystem hier ist ungewohnt).
Ich hab eine Lösung zu der Aufgabe vorliegen, aus der ich aber auch nicht schlau werde, so kurz sie auch ist.
f: M [mm] \rightarrow [/mm] K a [mm] \mapsto [/mm] 0
b [mm] \mapsto [/mm] 1 [mm] \in [/mm] K-{0}
(f [mm] \cdot [/mm] g)(m)=f(m) [mm] \cdot [/mm] g(m)=1 [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M
(f [mm] \cdot [/mm] g)(a)=f(a) [mm] \cdot [/mm] g(a)=0 [mm] \cdot [/mm] g(a)=0 immer im Körper
Wenn |M| [mm] \le [/mm] 1 dann hat der Körper ein Inverses Element.
Kann es sein, dass b=m sein soll? Und wie kommt man von dort auf die Folgerungen?
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Hallo nochmal,
so wie es dasteht ist es ziemlicher Unfug.
Es ist z.B. nicht erklärt was a,b sein sollen, auch wenn klar ist, dass [mm] $a\neq [/mm] b [mm] \in [/mm] M$. Bei f ist nicht erklärt was mit evtl. anderen Elementen von M passiert (auch wenn das de facto egal ist)
>(f $ [mm] \cdot [/mm] $ g)(m)=f(m) $ [mm] \cdot [/mm] $ g(m)=1 $ [mm] \forall [/mm] $ m $ [mm] \in [/mm] $ M
und das ist schlicht falsch, a ist ein Gegenbeispiel. Was soll g sein?
Aber ein richtiger Beweis der Beh. hier ist nicht länger als dieser Pseudo-Beweis (kommt das von einem Kommilitonen?).
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Ja, kommt es und es ist so durchgewinkt worden. Ich bin vollständig durcheinander und müsste eigentlich erst noch etwas Struktur in mein Verständnis der ganzen Geschichte bringen, leider bleibt mir dafür nur wenig Zeit.
Gehe ich mal davon aus, dass M={a,b} und folglich |M|=2 sein soll. Nun nehme ich mir diese Abbildungsvorschriften:
f: M [mm] \to [/mm] K
a [mm] \mapsto [/mm] 0
b [mm] \mapsto [/mm] 1
g: M [mm] \to [/mm] K
a [mm] \mapsto [/mm] 1
b [mm] \mapsto [/mm] 0
Das ist doch sozusagen die Menge aller Abbildungen von {a,b} nach [mm] \IF_2, [/mm] oder?
Dann müsste ich mit den Verknüpfungen zeigen, dass [mm] K^M [/mm] kein Körper ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gehe ich mal davon aus, dass M={a,b} und folglich |M|=2
so darfst Du sowas übrigens nicht schreiben:
Du kannst sagen, es soll [mm] $M=\{a,b\}$ [/mm] mit $a [mm] \not=b$ [/mm] und folglich [mm] $|M|=2\,$ [/mm] sein,
oder Du sagst, es soll [mm] $M=\{a,b\}$ [/mm] mit [mm] $|M|=2\,$ [/mm] und folglich $a [mm] \not=b$ [/mm] sein.
Aus [mm] $M=\{a,b\}$ [/mm] folgt keinesfalls [mm] $|M|=2\,;$ [/mm] betrachte [mm] $a=b\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, kommt es und es ist so durchgewinkt worden. Ich bin
> vollständig durcheinander und müsste eigentlich erst noch
> etwas Struktur in mein Verständnis der ganzen Geschichte
> bringen, leider bleibt mir dafür nur wenig Zeit.
>
>
> Gehe ich mal davon aus, dass M={a,b} und folglich |M|=2
> sein soll. Nun nehme ich mir diese Abbildungsvorschriften:
>
> f: M [mm]\to[/mm] K
> a [mm]\mapsto[/mm] 0
> b [mm]\mapsto[/mm] 1
>
> g: M [mm]\to[/mm] K
> a [mm]\mapsto[/mm] 1
> b [mm]\mapsto[/mm] 0
>
> Das ist doch sozusagen die Menge aller Abbildungen von
> {a,b} nach [mm]\IF_2,[/mm] oder?
es kann nicht sein, dass hier [mm] $\{f,g\}$ [/mm] die Menge aller Abbildungen von [mm] $M\,$
[/mm]
nach [mm] $\IF_2$ [/mm] ist. Warum? Es fehlt schon die Nullabbildung: [mm] $n=0\,,$ [/mm] d.h.
$n [mm] \colon [/mm] M [mm] \to \IF_2$ [/mm] mit $n(m):=0$ für alle $m [mm] \in M\,.$
[/mm]
P.S. Beachte auch: Ist $|M|=m [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $|L|=\ell \in \IN$:
[/mm]
Wieviele Abbildungen $f: M [mm] \to [/mm] L$ gibt es denn dann?
O.E. sei [mm] $M=\{1,\ldots,m\}\,.$ [/mm] Dann gibt es für [mm] $f(1)\,$ $\ell$ [/mm] Möglichkeiten, weiter
gibt es auch für $f(2)$ [mm] $\ell$ [/mm] mögliche Werte usw. usf..
Also?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Definition der punktweisen Addition und Multiplikation,
> von der wohl ausgegangen werden soll, hab ich in einer
> Mitteilung geschrieben (das Forensystem hier ist
> ungewohnt).
>
> Ich hab eine Lösung zu der Aufgabe vorliegen, aus der ich
> aber auch nicht schlau werde, so kurz sie auch ist.
>
> f: M [mm]\rightarrow[/mm] K a [mm]\mapsto[/mm] 0
> b [mm]\mapsto[/mm] 1 [mm]\in[/mm] K-{0}
>
> (f [mm]\cdot[/mm] g)(m)=f(m) [mm]\cdot[/mm] g(m)=1 [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M
> (f [mm]\cdot[/mm] g)(a)=f(a) [mm]\cdot[/mm] g(a)=0 [mm]\cdot[/mm] g(a)=0 immer im
> Körper
>
> Wenn |M| [mm]\le[/mm] 1 dann hat der Körper ein Inverses Element.
diese Lösung ist zum Wegwerfen. Außerdem: Was soll der letzte Satz?
Und was ist DAS inverse Element in einem Körper? Invers bzgl. was? Und
was hat das mit $|M| [mm] \le [/mm] 1$ zu tun?
Mach' es lieber richtig:
Das multiplikativ neutrale Element in [mm] $K^M$ [/mm] ist hier $n [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] K$ mit $n(m):=0$ für alle [mm] $m\,.$
[/mm]
(Klar? Beweis?)
Sei [mm] $m_0 \in [/mm] M$ (beliebig, aber) fest.
Betrachte $f [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] K$ mit [mm] $f(m_0):=1$ [/mm] und $f(m):=0$ für alle $m [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \{m_0\}\,.$ [/mm]
Ferner sei $g [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] K$ definiert durch [mm] $g(m_0):=0$ [/mm] und $g(m):=1$ für $m [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \{m_0\}\,.$
[/mm]
Was bringt Dir das? Berechne mal $f [mm] \cdot g\,.$ [/mm] (Beachte: Körper sind nullteilerfrei (klick!)).
Hinweis: An welcher Stelle brauchen wir unbedingt $|M| [mm] \ge [/mm] 2$?
Gruß,
Marcel
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Okay, wenn nicht |M| [mm] \ge [/mm] 2 wäre, ist meine Menge nur noch [mm] M={m_0} [/mm] und die Abbildungsvorschriften reduzieren sich auf
f: M [mm] \to [/mm] K [mm] m_0 \mapsto [/mm] 1
g: M [mm] \to [/mm] K [mm] m_0 \mapsto [/mm] 0
Wenn ich jetzt f [mm] \cdot [/mm] g ausrechne...
(f [mm] \cdot [/mm] g) (m)=f(m) [mm] \cdot [/mm] g(m)=0 [mm] \cdot [/mm] g(m)=0
(f [mm] \cdot [/mm] g) [mm] (m_0)=f(m_0) \cdot g(m_0)=f(m_0) \cdot [/mm] 0=0
Bedeutet das jetzt, dass 1 ein Nullteiler ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, wenn nicht |M| [mm]\ge[/mm] 2 wäre, ist meine Menge nur noch
> [mm]M={m_0}[/mm] und die Abbildungsvorschriften reduzieren sich auf
>
> f: M [mm]\to[/mm] K [mm]m_0 \mapsto[/mm] 1
> g: M [mm]\to[/mm] K [mm]m_0 \mapsto[/mm] 0
>
> Wenn ich jetzt f [mm]\cdot[/mm] g ausrechne...
>
> (f [mm]\cdot[/mm] g) (m)=f(m) [mm]\cdot[/mm] g(m)=0 [mm]\cdot[/mm] g(m)=0
> (f [mm]\cdot[/mm] g) [mm](m_0)=f(m_0) \cdot g(m_0)=f(m_0) \cdot[/mm] 0=0
>
> Bedeutet das jetzt, dass 1 ein Nullteiler ist?
nein. Pass' auf:
Wenn $|M| [mm] \ge [/mm] 2$ ist, dann gilt sowohl $f [mm] \not=n$ [/mm] als auch $g [mm] \not=n\,,$ [/mm] aber, und davon
überzeuge Dich: $f [mm] \cdot g=n\,.$ [/mm]
(Wie macht man sowas? Naja, man berechnet $(f [mm] \cdot [/mm] g)(m)$ für $m [mm] \in [/mm] M$ aus:
Einfach durch Fallunterscheidung: Ist einerseits [mm] $m=m_0\,,$ [/mm] dann folgt... Ist andererseits
$m [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \{m_0\}\,,$ [/mm] so folgt...)
Hier ist, wie gesagt, $n [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] K$ das multiplikativ neutrale Element
in [mm] $K^M\,.$
[/mm]
Für $|M| [mm] \ge [/mm] 2$ ist [mm] $K^M$ [/mm] nicht nullteilerfrei, kann also kein Körper
sein.
Warum geht das schief, wenn $|M|=1$ ist (für [mm] $|M|=0\,$ [/mm] ist [mm] $K^M$ [/mm] übrigens... was?)
Na, dann ist auch $f [mm] \cdot g=n\,.$ [/mm] ABER: Sicherlich ist $f [mm] \not=n\,;$ [/mm] gilt denn im Falle
$|M|=1$ (also [mm] $M=\{m_0\}$) [/mm] auch $g [mm] \not=n$??
[/mm]
Damit haben wir übrigens nur gezeigt, dass der obige Beweis, der für $|M| [mm] \ge [/mm] 2$
greift, nicht auf den Fall $|M| [mm] \le [/mm] 1$ übertragen werden kann. Wir haben
so KEINESFALLS schon gezeigt, dass [mm] $K^M$ [/mm] für $|M| [mm] \le [/mm] 1$ ein Körper ist!
(Was auch nur für $|M|=1$ stimmt!)
Gruß,
Marcel
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Herzlichen Dank für die Hilfe. Nach einigem Gezetere bin ich dann doch durchgestiegen, was das Ganze soll. :)
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